Selbststudium – Reflexion 3

Nehmen wir ein weiteres Beispiel, das uns in einer schulischen Situation oder in einem Ratespiel begegnen könnte. Die Frage, ob eine Katze unter einem gedanklich vorgestellten Seil herlaufen könnte, das man zunächst direkt um den Äquator der Erde legt, dann um zehn Meter erweitert und schließlich überall mit dem gleichen Abstand von der Erdoberfläche abhebt, wird spontan vom Alltagsverstand meist mit einer Strategie zu lösen versucht, die nicht zur Lösung führt. Dabei wird angenommen, dass man die Lösung nur errechnen kann, wenn man den Erdumfang in Metern kennt. Weil man diese Zahl nicht aus ihrem Gedächtnis abrufen kann, bricht man den Lösungsversuch ab.

Wenn man trotzdem eine Einschätzung abgibt, dann vor dem Hintergrund der Vermutung, dass das Verhältnis zwischen Erdumfang und den zehn Metern entscheidend wäre. Die Tatsache, dass in diesem Kontext zehn Meter relativ wenig sind, verleitet zu dem Schluss, dass die Katze wahrscheinlich nicht unter dem Seil herlaufen kann. Entscheidend ist aber nicht diese Relation, sondern die zwischen dem Radius des um zehn Meter erweiterten Kreises und des Radius des ursprünglichen Kreises. Verfügt man über die Formel für den Kreisumfang (C = 2πr), lässt sich dies leicht erkennen. Indem man die Formel nach r auflöst (r ist dann der Kreisumfang geteilt durch 2π), r mit dem Radius der Erde und R mit dem um 10 Meter erweiterten Radius gleichsetzt, lässt sich die Höhe, unter der die Katze hindurch passen müsste, als R – r ausdrücken.

Mathematisch gesehen ist R = r + 10/2π, sodass man in der Gleichung ersetzen kann: R – r = r + 10/2π – r. Vereinfacht bleibt R – r = 10/2π. Daraus errechnet sich die Differenz von rund 1,6 Meter, ein Abstand also, unter dem eine Katze also leicht herlaufen könnte (vgl. Derry 2007, Fußnote 9). Genauer betrachtet stellt sich also heraus, dass es unerheblich ist, wie groß tatsächlich der Erdumfang oder der Erdradius ist, da sich die Differenz von R – r bei einer bestimmten Erweiterung des Kreisumfangs immer gleich verändert, egal ob der Kreis ursprünglich klein oder groß war. Trotz der unbekannten Ausgangsgröße ist mit dem theoretischen Begriff vom Kreisumfang, der ihn im Verhältnis zum Radius bestimmt, eine Relation gefunden, mit der sich die Frage eindeutig und sicher beantworten lässt.

Es lässt sich an diesem Beispiel zeigen, dass ein Denken in theoretischen Begriffen – und dazu gehören auch Zahl- und Geometriebegriffe – nicht nur die Urteilskraft in ähnlichen Situationen verbessern kann, sondern auch Strategien für gedankliches Handeln bereitstellt, zu denen wir spontan kaum in der Lage sind. Als Verallgemeinerungen über bestimmten Beziehungen in der Wirklichkeit erweitern sie die Möglichkeiten gedanklichen Handelns.

Derry, J., 2007: Abstract rationality in education: from Vygotsky to Brandon. In: Studies in Philosophy and Education. 27. Jg., H. 1, 2008, 49-62.

Langemeyer, I., 2015: Das Wissen der Achtsamkeit. Kooperative Kompetenz in komplexen Arbeitsprozessen. Münster: Waxmann